Question

已知數(shù)列{a_n}中．當(dāng)n≥2時3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*）
（Ⅰ）證明：{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅲ）若對任意n∈N^*有均成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}中．當(dāng)n≥2時3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*），由此能夠證明{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，，…，由累加法能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）若對任意n∈N^*，有均成立，則在n∈N^*時恒成立．故需求在n∈N^*上的最小值．由此能求出λ的最小值．
解答：（Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}中，．
當(dāng)n≥2時3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*）
∴當(dāng)n≥2時3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1，
即．
所以{a_n+1-a_n}是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
故，
，
…
，
累加得，
所以．…（9分）
（Ⅲ）解：若對任意n∈N^*有均成立，
則在n∈N^*時恒成立．
故需求在n∈N^*上的最小值．
現(xiàn)證n∈N^*時有＞
顯然，左端每個因式都是正數(shù)，
先證明，對每個n∈N^*，有≥1-（）
用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：
（ⅰ）n=1時，上式顯然成立，
（ⅱ）假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，
即≥1-（）
則當(dāng)n=k+1時，
≥
=1-（）-+（）
≥1-（+），
即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．
故對一切n∈N^*，≥1-（）成立．
所以≥1-（）
=1-
=1-＞．
∵，
∴，
故，，
而在n∈N^*時恒成立且λ∈N^*，
所以λ的最小值為2．…（14分）
點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查最小值的求法．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．