Question

如圖，點(diǎn)P是半圓C：x²+y²=1（y≥0）上位于x軸上方的任意一點(diǎn)，A、B是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，以AB為一邊作正方形ABCD，PC交AB于E，PD交AB于F，求證：BE，EF，F(xiàn)A成等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)條件先BE，EF，F(xiàn)A，然后利用等比數(shù)列的定義，進(jìn)行證明即可．

解答： 證明：設(shè)P（cosα，sinα），C（-1，-2），D（1，-2），
E（x₁，0），F(xiàn)（x₂，0）．
∵點(diǎn)P、E、C三點(diǎn)共線，
∴

sinα+2

cosα+1

=

2

x1+1

，
∴x₁=

2(cosα+1)

sinα+2

-1．    
由點(diǎn)P、F、D三點(diǎn)共線，
∴

sinα+2

cosα-1

=

2

x2-1

，
∴x₂=

2(cosα-1)

sinα+2

+1．                                    
∴BE=x₁+1=

2(cosα+1)

sinα+2

，EF=x₂-x₁=

2sinα

sinα+2

，F(xiàn)A=

2(cosα-1)

sinα+2

．
∴BE•FA=

2(cosα+1)

sinα+2

×

2(cosα-1)

sinα+2

=

4sin2α

(sinα+2)2

=EF²．
即BE，EF，F(xiàn)A成等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的判斷，利用條件建立先BE，EF，F(xiàn)A的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，涉及的知識點(diǎn)較大，難度較大．