Question

6．設z為復數(shù)，若$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}$∈R，求z所對應的點的軌跡．

Answer 1

分析 首先設出復數(shù)z=a+bi（a，b∈R），再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}$，再由題意得到虛部為0，求解即可得到z所對應的點的軌跡．

解答 解：設z=a+bi（a，b∈R），
則$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}=\frac{（a+bi）（i-1）}{i（a+bi-2）}$=$\frac{（-a-b）+（a-b）i}{-b+（a-2）i}$=$\frac{[（-a-b）+（a-b）i]•[-b-（a-2）i]}{[-b+（a-2）i]•[-b-（a-2）i]}$=$\frac{[（-a-b）+（a-b）i]•\{-b-（a-2）i]}{^{2}+（a-2）^{2}}$，
∵$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}$∈R，
∴虛部為0．
∴（-a-b）（2-a）+（-b）（a-b）=0．
即（a-1）²+（b-1）²=2．
∴z所對應的點的軌跡是以（1，1）為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的圓．

點評 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．