Question

15．已知正三棱柱的體積為64，當(dāng)正三棱柱外接球體積最小時，正三柱側(cè)面積為多少？

Answer 1

分析 利用棱柱的體積，以及外接球的體積的表達(dá)式，求出a，h，即可求出正三柱側(cè)面積．

解答 解：設(shè)正三棱柱的底面邊長為a，高為2h，
正三棱柱的體積為64，
可得：$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×2h=64$．即${a}^{2}h=\frac{128\sqrt{3}}{3}$
正三棱柱外接球的半徑：R=$\sqrt{{h}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}}$．
正三棱柱外接球體積：V=$\frac{4}{3}{π（\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}}）}^{3}$=$\frac{4}{3}{π（{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}）\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}}}^{\;}$=$\frac{4}{3}{π（{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{6}+\frac{{a}^{2}}{6}）\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{6}+\frac{{a}^{2}}{6}}}^{\;}$
=$\frac{4}{3}{π\(zhòng)sqrt{{（h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{6}+\frac{{a}^{2}}{6}）^{3}}}^{\;}$≥$\frac{4π}{3}\sqrt{{（3\root{3}{{h}^{2}•\frac{{a}^{2}}{6}•\frac{{a}^{2}}{6}}）}^{3}}$=$\frac{4π}{3}\sqrt{{27×\frac{1}{36}{（a}^{2}h）}^{2}}$=$\frac{4π}{3}\sqrt{{27×\frac{1}{36}（\frac{128\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$
=$\frac{128π}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)：${h}^{2}=\frac{{a}^{2}}{6}$，${a}^{2}h=\frac{128\sqrt{3}}{3}$，解得h=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，a=4$\sqrt{2}$．等號成立．
此時：正三柱側(cè)面積：3a×2h=$3×4\sqrt{2}×2×\frac{4\sqrt{3}}{3}$=32$\sqrt{6}$．

點評 本題考查球的內(nèi)接體，外接球的體積的求法，棱柱的側(cè)面積的求法，考查計算能力．