【題目】如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（1）證明：四邊形為矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面.

取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，

如圖，則，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，

設平面的法向量，，，

，，，，2，，

由，取，得，0，，

又，2，，，，

又平面，平面；

（2），0，，，0，，，2，，，，，，0，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

設二面角的平面角為，

則，

二面角的正弦值.

（3）假設在線段上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，

設，，，，則，，，，，

解得，，，，，，

平面的法向量，，，，，，

直線與平面所成角的正弦值為，

，

解得或，

，或.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知定點F（1，0），點A在x軸的非正半軸上運動，點B在y軸上運動，滿足0，A關于點B的對稱點為M，設點M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）已知點G（3，﹣2），動直線x＝t（t＞3）與C相交于P，Q兩點，求過G，P，Q三點的圓在直線y＝﹣2上截得的弦長的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構造如圖所示，在一個十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定的滑塊A，B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉動一周，則點M的軌跡C是一個橢圓，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如圖，以兩條導槽的交點為原點O，橫槽所在直線為x軸，建立直角坐標系.

（1）將以射線Bx為始邊，射線BM為終邊的角xBM記為φ（0≤φ＜2π），用表示點M的坐標，并求出C的普通方程；

（2）已知過C的左焦點F，且傾斜角為α（0≤α）的直線l1與C交于D，E兩點，過點F且垂直于l1的直線l2與C交于G，H兩點.當，|GH|，依次成等差數(shù)列時，求直線l2的普通方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，過定點的直線l與橢圓E相交于A，B兩點，C為橢圓的左頂點，當直線l過點時，（O為坐標原點）的面積為．

（1）求橢圓E的方程；

（2）求證：當直線l不過C點時，為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給定數(shù)列.對，該數(shù)列前項的最小值記為，后項的最大值記為，令.

（1）設數(shù)列為2，1，6，3，寫出，，的值；

（2）設是等比數(shù)列，公比，且，證明：是等比數(shù)列；

（3）設是公差大于0的等差數(shù)列，且，證明：是等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的部分圖象如圖所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|．

（Ⅰ）求函數(shù)y＝f（x）解析式；

（Ⅱ）求x∈[0，]時，函數(shù)y＝f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐D-ABC中為銳角三角形，平面ACD⊥平面.

（1）求證：CD⊥平面ABC

（2）若直線BD與平面ACD所成角的正弦值為，求二面角D-AB-C的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在“挑戰(zhàn)不可能”的電視節(jié)目上，甲、乙、丙三個人組成的解密團隊參加一項解密挑戰(zhàn)活動，規(guī)則是由密碼專家給出題目，然后由個人依次出場解密，每人限定時間是分鐘內，否則派下一個人.個人中只要有一人解密正確，則認為該團隊挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.根據(jù)甲以往解密測試情況，抽取了甲次的測試記錄，繪制了如下的頻率分布直方圖.

（1）若甲解密成功所需時間的中位數(shù)為，求、的值，并求出甲在分鐘內解密成功的頻率；

（2）在“挑戰(zhàn)不可能”節(jié)目上由于來自各方及自身的心理壓力，甲，乙，丙解密成功的概率分別為，其中表示第個出場選手解密成功的概率，并且定義為甲抽樣中解密成功的頻率代替，各人是否解密成功相互獨立.

①求該團隊挑戰(zhàn)成功的概率；

②該團隊以從小到大的順序按排甲、乙、丙三個人上場解密，求團隊挑戰(zhàn)成功所需派出的人員數(shù)目的分布列與數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖.空氣質量指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天.

（1）求此人到達當日空氣重度污染的概率；

（2）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；

（3）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數(shù)方差最大？（結論不要求證明）

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