Question

（本題滿分20分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分）

已知是直線上的個不同的點（，、均為非零常數(shù)），其中數(shù)列為等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若點是直線上一點，且，求證: ；

（3） 設，且當時，恒有（和都是不大于的正整數(shù), 且）.試探索：在直線上是否存在這樣的點，使得成立？請說明你的理由.

Answer 1

（本題滿分20分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分）

解：（1）證：設等差數(shù)列的公差為,

因為，

所以為定值，即數(shù)列也成等差數(shù)列.

（2）證：因為點、和都是直線上一點，故有()

于是，

                 

令，，則有.

（3）（文科）假設存在點滿足要求,

則有，

又當時，恒有，則又有

，

所以

又因為數(shù)列成等差數(shù)列，

于是，

所以，

故，同理，且點在直線上（是、的中點），即存在點滿足要求.

（3）（理科）

提出命題：（在本題大前提下）若點滿足，則系數(shù)數(shù)列的和是點在直線上的充要條件.

證明：設，由條件，

    先證充分性：“當時，點在直線上”.

因為，

故

而（），所以

 

 

當時，即有，即點在直線上.

再證必要性：“若點在直線上，則.”

因為，

故

而因為（），所以

 

 

    又因為點在直線上，所以滿足，故.

補充：由以上證明進一步可知，對于直線上任一點，若滿足，則都有.