【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 滿足a =2Sn+n+4,且a2﹣1,a3 , a7恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn= ﹣ ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
【答案】
(1)解:當(dāng)n=1時,a22=2S1+1+4=2a1+5,
當(dāng)n>1時,an+12=2Sn+n+4,①
可得an2=2Sn﹣1+n﹣1+4,②
①﹣②可得,an+12﹣an2=2an+1,
即有an+12=(an+1)2,
數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),
可得an+1﹣an=1,即公差d=1,
由a2﹣1,a3,a7恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),
可得a32=(a2﹣1)a7,
即為(a2+1)2=(a2﹣1)(a2+5),解得a2=3,
則an=a2+n﹣2=n+1;b1=a2﹣1=2,公比q= = =2,
則bn=b1qn﹣1=2n
(2)解:cn= ﹣ = ﹣ = ﹣( ﹣ ),
前n項(xiàng)和Tn=(1 +2 +…+n( )n)﹣( ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ),
由Fn=1 +2 +…+n( )n,
Fn=1 +2 +…+n( )n+1,
兩式相減可得, Fn= + + +…+( )n﹣n( )n+1
= ﹣﹣n( )n+1
化簡可得,F(xiàn)n=2﹣ ,
則Tn=2﹣ ﹣( ﹣ )= ﹣ +
【解析】(1)將n換為n﹣1,兩式相減,可得an+1﹣an=1,即公差d=1,再由等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,解方程可得a2=3,再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得通項(xiàng);再由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得所求;(2)求得cn= ﹣ = ﹣ = ﹣( ﹣
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系,以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E、F分別是BC、CC1的中點(diǎn).
(1)證明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°,求三棱錐F-AEC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)為定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[﹣1,0]時,函數(shù)解析式為 . (Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的解析式;
(Ⅱ)求f(x)在[0,1]上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分;
(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如表所示,求數(shù)學(xué)成績在[50,90)之外的人數(shù).
分?jǐn)?shù)段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
x:y | 1:1 | 2:1 | 3:4 | 4:5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BA⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2,PA=3,AD=6,PA⊥底面ABCD,E是PD上的動點(diǎn).若CE∥平面PAB,則三棱錐C﹣ABE的體積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C對應(yīng)邊分別是a,b,c,c=2,sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB.
(1)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC面積;
(2)求AB邊上的中線長的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知傾斜角60°為的直線l平分圓:x2+y2+2x+4y﹣4=0,則直線l的方程為( )
A. x﹣y+ +2=0
B. x+y+ +2=0
C. x﹣y+ ﹣2=0
D. x﹣y﹣ +2=0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓心在直線x+y﹣1=0上且過點(diǎn)A(2,2)的圓C1與直線3x﹣4y+5=0相切,其半徑小于5.
(1)若C2圓與圓C1關(guān)于直線x﹣y=0對稱,求圓C2的方程;
(2)過直線y=2x﹣6上一點(diǎn)P作圓C2的切線PC,PD,切點(diǎn)為C,D,當(dāng)四邊形PCC2D面積最小時,求直線CD的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的程序框圖所表示的算法功能是輸出( )
A.使1×2×4×6××n≥2017成立的最小整數(shù)n
B.使1×2×4×6××n≥2017成立的最大整數(shù)n
C.使1×2×4×6××n≥2017成立的最小整數(shù)n+2
D.使1×2×4×6××n≥2017成立的最大整數(shù)n+2
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