Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求在區(qū)間上的最大值；

（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解；(2)借助題設(shè)構(gòu)造函數(shù)運用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析探求.

試題解析：

（1）當時，，

.

當，有；當，有，

∴在區(qū)間上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

所以.

（2）令，則的定義域為.

在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，

等價于在區(qū)間上恒成立.

，①

①若，令，得極值點，.

當，即時，在上有，在上有，

在上有，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，

并且在該區(qū)間上有，

不合題意；

當，即時，同理可知，在區(qū)間上，有，也不合題意；

②若，則有，此時在區(qū)間上恒有，

從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是.

綜合①②可知，當時，函數(shù)的圖象恒在直線下方.