在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若B=60°,c=(
3
-1)a

(1)求角C的大小;
(2)已知當(dāng)x∈R時(shí),函數(shù)f(x)=sinx(cosx+asinx)的最大值為1,求a的值.
分析:(1)由題意A=120°-C,代入sinC=(
3
-1)sinA
sinC=(
3
-1)sin(120°-C)
展開求C
(2)利用恒等變換公式對(duì)f(x)=sinx(cosx+asinx)化簡得到f(x)=
a
2
+
1+a2
2
sin(2x-θ),再由最大值為1,建立方程求出a
解答:解:(1)由題意若B=60°,c=(
3
-1)a
,可變?yōu)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">sinC=(
3
-1)sinA,即sinC=(
3
-1)sin(120°-C)

sinC=(
3?
-1)(
3
2
cosC+
1
2
sinC)

整理得
3-
3
2
sinC=
3-
3
2
cosC

可得tanC=1,C=
π
4

(2)f(x)=sinx(cosx+asinx)=
1
2
sin2x+
a
2
(1-cos2x)=
a
2
+
1+a2
2
sin(2x-θ),tanθ=a
∵函數(shù)f(x)=sinx(cosx+asinx)的最大值為1
a
2
+
1+a2
2
=1,
∴a+
1+a2
=2,解得a=
3
4
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的最值,解題的關(guān)鍵是把三角函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的形式,再由三角函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最值,此類題一般有兩種類型,一是求最值,一是由最值求參數(shù),本題是第二類.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
sin2ω+2cos2ωx-1(ω>0)的最小正周期為2π.
(1)當(dāng)x∈R時(shí),求f(x)的值域;
(2)在△ABC中,三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,已知f(A)=1,a=2
7
,sinB=2sinC,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c且滿足(2b-c)cosA=acosC
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若|
AC
-
AB
|=1,求△ABC周長l的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(
6
-2x)+2cos2x-1(x∈R)

(I)求函數(shù)f(x)的周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知點(diǎn)(A,
1
2
)
經(jīng)過函數(shù)f(x)的圖象,b,a,c成等差數(shù)列,且
AB
AC
=9
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,三內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊長分別為a、b、c,且A、B、C成等差數(shù)列,b=
3
,則△ABC的外接圓半徑為 ( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,設(shè)向量
m
=(b-c,c-a)
,
n
=(b, c+a)
,若向量
m
n
,則角A的大小為( 。
A、
π
6
B、
π
3
C、
π
2
D、
3

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