【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明:.
【答案】(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)不等式等價于,由(Ⅰ) ①, 所以原不等式等價于,構(gòu)造求最值即可.
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為,
則,解得,所以.此時,,由得,得 ,
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅱ)不等式等價于,由(Ⅰ)在上的最大值為,
所以 ①,
令,所以,,所以,
當(dāng)時,,所以在 上單調(diào)遞增,所以,所以在 上單調(diào)遞增,所以,即,
因為,所以,
所以,時,.
點晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性,及不等式的證明問題.要求單調(diào)性,求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小,解不等式可得單調(diào)區(qū)間,要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào),只需要證明其導(dǎo)函數(shù)大于等于0(或者恒小于等于0即可),要證明一個不等式,我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù),求其值最值即可.這類問題的通解方法就是:劃歸與轉(zhuǎn)化之后,就可以假設(shè)相對應(yīng)的函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,圖像與性質(zhì),進而求解得結(jié)果.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】微信是現(xiàn)代生活中進行信息交流的重要工具.據(jù)統(tǒng)計,某公司200名員工中90%的人使用微信,其中每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有60人,其余的員工每天使用微信時間在一小時以上,若將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段,那么使用微信的人中75%是青年人.若規(guī)定:每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信,那么經(jīng)常使用微信的員工中都是青年人.
(1)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系,列出并完成2×2列聯(lián)表:
(2)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷,是否有99.9%的把握認(rèn)為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”?
(3)采用分層抽樣的方法從“經(jīng)常使用微信”的人中抽取6人,從這6人中任選2人,求選出的2人,均是青年人的概率.
附:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,點,直線與動直線的交點為,線段的中垂線與動直線的交點為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過動點作曲線的兩條切線,切點分別為,,求證:的大小為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸,B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸,B原料3噸,銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元,每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元.該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸,B原料不超過18噸.那么在一個生產(chǎn)周期內(nèi)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了檢驗訓(xùn)練情況,武警某支隊于近期舉辦了一場展示活動,其中男隊員12人,女隊員18人,測試結(jié)果如莖葉圖所示(單位:分).若成績不低于175分者授予“優(yōu)秀警員”稱號,其他隊員則給予“優(yōu)秀陪練員”稱號.
(1)若用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀警員”和“優(yōu)秀陪練員”中共提取10人,然后再從這10人中選4人,那么至少有1人是“優(yōu)秀警員”的概率是多少?
(2)若所有“優(yōu)秀警員”中選3名代表,用表示所選女“優(yōu)秀警員”的人數(shù),試求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sinωx+cosωx(ω>0)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為 的等差數(shù)列,把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移 個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象.若在區(qū)間[0,π]上隨機取一個數(shù)x,則事件“g(x)≥ ”發(fā)生的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過B1作直線交橢圓于P、Q兩點,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移 個單位,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是( )
A.y=2cos2x
B.y=2sin2x
C.
D.y=cos2x
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