【題目】設(shè)相互垂直的直線,分別過橢圓的左、右焦點,,且與橢圓的交點分別為、和、.
(1)當(dāng)的傾斜角為時,求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)問是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)存在,使得恒成立,詳見解析
【解析】
(1)將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達定理,計算出線段的中點坐標(biāo),利用弦長公式計算出,于此得出圓心坐標(biāo)和半徑長,再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程;
(2)對直線的斜率是否存在進行分類討論,在直線的斜率不存在時,分別計算出和,可計算出的值,在直線的斜率存在且不為零時,設(shè)直線的方程為
,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用弦長公式以及韋達定理計算出,同理計算出,代入題中等式計算出的值,從而說明實數(shù)存在。
(1)由題意可設(shè)的方程為,代入可得.
所以,的中點坐標(biāo)為.
又,
所以,以為直徑的圓的方程為.
(2)假設(shè)存在常數(shù),使得恒成立.
①當(dāng)與軸垂直或與軸垂直時,
;
②設(shè)直線的方程為,則直線的方程為.
將的方程代入得:.
由韋達定理得:,,
所以.
同理可得.
所以.
因此,存在,使得恒成立.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,PA⊥底面ABCD,PA=1,點M是棱PC上的一點,且AM⊥PB.
(1)求三棱錐C﹣PBD的體積;
(2)證明:AM⊥平面PBD.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.
(1)證明:BE⊥DC;
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F為棱PC上一點,滿足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
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【題目】已知橢圓C:的離心率為,且過點.
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
設(shè)直線l經(jīng)過點且與橢圓C交于不同的兩點M,N試問:在x軸上是否存在點Q,使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值?若存在,求出點Q的坐標(biāo)及定值,若不存在,請說明理由.
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【題目】為了調(diào)查民眾對國家實行“新農(nóng)村建設(shè)”政策的態(tài)度,現(xiàn)通過網(wǎng)絡(luò)問卷隨機調(diào)查了年齡在20周歲至80周歲的100人,他們年齡頻數(shù)分布和支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)如下表:
年齡 | ||||||
頻數(shù) | 10 | 20 | 30 | 20 | 10 | 10 |
支持“新農(nóng)村建設(shè)” | 3 | 11 | 26 | 12 | 6 | 2 |
(1)根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為以50歲為分界點對“新農(nóng)村建設(shè)”政策的支持度有差異;
年齡低于50歲的人數(shù) | 年齡不低于50歲的人數(shù) | 合計 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合計 |
(2)現(xiàn)從年齡在內(nèi)的5名被調(diào)查人中任選兩人去參加座談會,求選出兩人中恰有一人支持新農(nóng)村建設(shè)的概率.
參考數(shù)據(jù):
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
參考公式:,其中.
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【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況,在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本,測量樹苗高度(單位:,經(jīng)統(tǒng)計,其高度均在區(qū)間,內(nèi),將其按,,,,,,,,,,,分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中高度為及以上的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗.
(1)求圖中的值,并估計這批樹苗的平均高度(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)已知所抽取的這120棵樹苗來自于,兩個試驗區(qū),部分?jǐn)?shù)據(jù)如下列聯(lián)表:
試驗區(qū) | 試驗區(qū) | 合計 | |
優(yōu)質(zhì)樹苗 | 20 | ||
非優(yōu)質(zhì)樹苗 | 60 | ||
合計 |
將列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹苗與,兩個試驗區(qū)有關(guān)系,并說明理由.
下面的臨界值表僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中.
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