【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2﹣bx(a,b∈R),g(x)= ﹣lnx.
(1)當(dāng)a=﹣1時(shí),f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,求b的取值范圍;
(2)當(dāng)a,b都為0時(shí),斜率為k的直線與曲線y=f(x)交A(x1 , y1),B(x2 , y2)(x1<x2)于兩點(diǎn),求證:x1

【答案】
(1)解:∵a=﹣1∴f(x)=lnx+x2﹣bx,由題意可知,f(x)與g(x)的定義域都為(0,+∞).

=

∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

又a=﹣1時(shí),f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,

∴f(x)=lnx+x2﹣bx在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

對(duì)x∈(0,+∞)恒成立

對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,∴只需 ,

∵x>0,∴ (當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立),

,∴b的取值范圍為


(2)證明:

要證 ,即證

等價(jià)于證 ,令 ,

則只要證 ,由t>1,知lnt>0,

故等價(jià)于證lnt<t﹣1<tlnt(t>1),(*)

設(shè)m(t)=t﹣1﹣lnt(t>1),則

故m(t)在(1,+∞)上是增函數(shù),

當(dāng)t>1時(shí),m(t)=t﹣1﹣lnt>m(1)=0,即t﹣1>lnt.

設(shè)h(t)=tlnt﹣(t﹣1)(t>1),則h'(t)=lnt>0(t>1),

故h(t)在(1,+∞)上是增函數(shù).

當(dāng)t>1時(shí),h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即t﹣1<tlnt(t>1).

由可知(*)成立,故


【解析】(1)化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)=lnx+x2﹣bx,求出f(x)與g(x)的定義域都為(0,+∞).求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,利用f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,推出 對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,即 對(duì)x∈(0,+∞)恒成立利用基本不等式求解最值,即可.(2) .要證 ,等價(jià)于證 ,令 ,等價(jià)于證lnt<t﹣1<tlnt(t>1),設(shè)m(t)=t﹣1﹣lnt(t>1),則 ,通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解即可.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.( ,+∞)
B.( ,+∞)
C.(1,
D.( ,

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A.3
B.2
C.
D.

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(1)由于某些原因, 中一個(gè)數(shù)據(jù)丟失,但根據(jù)6至9月份的數(shù)據(jù)得出少樣本平均值是3.5,求出丟失的數(shù)據(jù);

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(3)現(xiàn)在用(2)中得到的線性回歸方程中得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與10月11月的實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差來(lái)判斷該地區(qū)的改造項(xiàng)目是否達(dá)到預(yù)期,若誤差均不超過(guò)0.3,則認(rèn)為該地區(qū)的改造已經(jīng)達(dá)到預(yù)期,否則認(rèn)為改造未達(dá)預(yù)期,請(qǐng)判斷該地區(qū)的煤改電項(xiàng)目是否達(dá)預(yù)期?(參考公式:線性回歸方程,其中

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