Question

已知函數f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）當a＞1時，求證：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）若函數y=|f（x）-t|-1有三個零點，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明a＞1時函數的導數大于0．
（Ⅱ）先判斷函數f（x）的極小值，再由y=|f（x）-t|-1有三個零點，所以方程f（x）=t±1有三個根，根據t-1應是f（x）的極小值，解出t．
（Ⅲ）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e-1，由單調性知，f（x）的最大值是f（1）
或f（-1），最小值f（0）=1，由f（1）-f（-1）的單調性，判斷f（1）與f（-1）的大小關系，再由
f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e-1求出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna  （3分）
由于a＞1，故當x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，
故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增  （5分）
（Ⅱ）當a＞0，a≠1時，因為f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
故f′（x）=0有唯一解x=0（7分）
所以x，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：

又函數y=|f（x）-t|-1有三個零點，所以方程f（x）=t±1有三個根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t=2；（11分）
（Ⅲ）因為存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
所以當x∈[-1，1]時，|（f（x））_max-（f（x））_min|
=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1，（12分）
由（Ⅱ）知，f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
所以當x∈[-1，1]時，（f（x））_min=f（0）=1，
（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，
而，
記，
因為（當t=1時取等號），
所以在t∈（0，+∞）上單調遞增，而g（1）=0，
所以當t＞1時，g（t）＞0；當0＜t＜1時，g（t）＜0，
也就是當a＞1時，f（1）＞f（-1）；
當0＜a＜1時，f（1）＜f（-1）（14分）
①當a＞1時，由f（1）-f（0）≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e，
②當0＜a＜1時，由，
綜上知，所求a的取值范圍為．（16分）
點評：本題考查函數的零點，用導數判斷函數單調性，利用導數研究函數極值，屬于中檔題．