Question

設(shè)x，y∈R，，為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上單位向量，若向量，，且．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）若直線L與曲線C交于A、B兩點，若，求證直線L與某個定圓E相切，并求出定圓E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，可得點M（x，y）到兩個定點F₁（，0），F(xiàn)₂（，0）的距離之和為，從而點M的軌跡C是以F₁、F₂為焦點的橢圓，故可得方程；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及x₁•x₂+y₁•y₂=0，可得直線L與圓x²+y²=2相切；當(dāng)直線的斜率不存在時，可得直線為，與圓x²+y²=2相切．
解答：（1）解：∵，，且．
∴點M（x，y）到兩個定點F₁（，0），F(xiàn)₂（，0）的距離之和為
∴點M的軌跡C是以F₁、F₂為焦點的橢圓，其方程為（5分）
（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與橢圓的方程，得
消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0．
因為直線與橢圓有兩個不同的交點，所以16k²m²-4（1+2k²）（2m²-6）＞0，所以m²＜6k²+3（﹡）
，（7分）
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
∵，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴=0
∴m²=2k²+2滿足（﹡）式，并且，即原點到直線L的距離是，
∴直線L與圓x²+y²=2相切．（10分）
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為x=m，
∴A（m，），B（m，-），
∵，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴，，直線L的方程是，
∴直線L與圓x²+y²=2相切．
綜合之得：直線L與圓x²+y²=2相切．（12分）
點評：本題考查向量知識的運用，考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，正確運用向量條件是關(guān)鍵．