Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，和直線m：y=kx+9．又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）是否存在k的值，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是y=f（x）的切線；如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由．
（3）如果對于所有x≥-2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）第一小問較簡單，只要求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)即可解決；
（2）先觀察條件可得直線m恒過點（0，9），再利用待定系數(shù)法求出切線的方程即可；
（3）對于題目中：“f（x）≤kx+9≤g（x）成立”不等式問題，通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成恒成立問題解決．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+6x-6a，
因為f′（-1）=0所以a=-2.2；
（2）因為直線m恒過點（0，9）．
先求直線m是y=f（x）的切線．
設(shè)切點為（x₀，3x₀²+6x₀+12），
∵g′（x₀）=6x₀+6．
∴切線方程為y-（3x₀²+6x₀+12）=（6x₀+6）（x-x₀），
將點（0，9）代入得x₀=±1．
當(dāng)x₀=-1時，切線方程為y=9，
當(dāng)x₀=1時，切線方程為y=12x+9．
由f′（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1，x=2
當(dāng)x=-1時，y=f（x）的切線y=-18，當(dāng)x=2時，
y=f（x）的切線方程為y=9∴y=9是公切線，
又由f′（x）=12得-6x²+6x+12=12
∴x=0或x=1，當(dāng)x=0時y=f（x）的切線為y=12x-11，
當(dāng)x=1時y=f（x）的切線為y=12x-10，
∴y=12x+9，不是公切線，
綜上所述k=0時y=9是兩曲線的公切線；（7分）
（3）．（1）kx+9≤g（x）得kx≤3x²+6x+3，
當(dāng)x=0，不等式恒成立，k∈R．
當(dāng)-2≤x＜0時，不等式為k≥3(x+

1

x

)+6，
而3(x+

1

x

)+6=-3[(-x)+

1

(-x)

]+6≤-3•2+6=0∴k≥0
當(dāng)x＞0時，不等式為k≤3(x+

1

x

)+6，
∵3(x+

1

x

)+6≥12∴k≤12∴當(dāng)x≥-2時，
kx+9≤g（x）恒成立，則0≤k≤12；（10分）
（2）由f（x）≤kx+9得kx+9≥-2x³+3x²+12x-11
當(dāng)x=0時，9≥-11恒成立，k∈R，
當(dāng)-2≤x＜0時有k≤-2x2+3x+12-

20

x

設(shè)h(x)=-2x2+3x+12-

20

x

=-2(x-

3

4

)2+

105

8

-

20

x

，
當(dāng)-2≤x＜0時-2(x-

3

4

)2+

105

8

為增函數(shù)，
-

20

x

也為增函數(shù)∴h（x）≥h（-2）=8
∴要使f（x）≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立，則k≤8（12分）
由上述過程只要考慮0≤k≤8，
則當(dāng)x＞0時f′（x）=-6x²+16x+12=-6（x+1）（x-2）
∴在x∈（0，2]時f′（x）＞0，在（2，+∞）時
∴f（x）在x=2時有極大值即f（x）在（0，+∞）上的最大值，
又f（2）=9，即f（x）≤9而當(dāng)x＞0，k≥0時，
∴f（x）≤kx+9一定成立，綜上所述0≤k≤8．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力，同時還考查分類討論的思想方法和運算求解的能力，綜合性特別強(qiáng)，對學(xué)生能力要求高，有壓軸題分量．