Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx（a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，證明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n）

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f'（x），然后讓其大于0得到遞增區(qū)間，小于0得到遞減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值即可；（2）要證明此結(jié)論成立，只需證f（m）+f（n）+a（m+n）ln2-f（m+n）≥0，設(shè)把不等式左邊化簡(jiǎn)得到an[klnk+（k+1）ln]，設(shè)g（k）=klnk+（k+1）ln，得到其導(dǎo)函數(shù)大于0，g（k）≥g（1）=0，又∵a＞0，n＞0，∴左邊-右邊≥0，得證．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=alnx+a（x＞0），令f'（x）≥0，
當(dāng)a＞0時(shí)，即lnx≥-1=lne^-1．∴．∴．
同理，令f'（x）≤0可得．
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
由此可知．無(wú)最大值．
當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）≥0即lnx≤-1=lne^-1．∴．∴．
同理，令f'（x）≤0可得．
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
由此可知．此時(shí)無(wú)最小值．
（Ⅱ）證：不妨設(shè)m≥n＞0，則m=kn（k≥1）
左邊-右邊=a[mlnm+nlnn+（m+n）ln2-（m+n）ln（m+n）]===
令，則=∴g（k）≥g（1）=0，又∵a＞0，n＞0，∴左邊-右邊≥0，得證．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求比區(qū)間上函數(shù)最值的能力，掌握證明不等式方法的能力．