Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-2）（x-

a-1

a

），其中a≠0．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=（x-2）x=（x-1）²-1，由此能求出f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值，
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式同解于（x-2）（x-

a-1

a

）＞0，當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式同解于（x-2）（x-

a-1

a

）＜0，由此能求出當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞2或x＜

a-1

a

}；當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|2＜x＜

a-1

a

}；當(dāng)a=-1時(shí)，不等式的解集為∅；當(dāng)a＜-1時(shí)，不等式的解集為{

a-1

a

＜x＜2}．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=（x-2）x=（x-1）²-1，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調(diào)函數(shù)，在（1，3）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[0，3]上的最小值為f（1）=-1，
又f（3）＞f（0），∴f（x）在[0，3]上的最大值為f（3）=3．
（Ⅱ）（1）當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式同解于（x-2）（x-

a-1

a

）＞0，
∵2-

a-1

a

=

a+1

a

＞0，
∴

a-1

a

＜2，
此時(shí)f（x）＞0的解集為{x|x＞2或x＜

a-1

a

}，
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式同解于（x-2）（x-

a-1

a

）＜0，
由2-

a-1

a

=

a+1

a

，得：
①若-1＜a＜0，則2＜

a-1

a

，
此時(shí)，f（x）＞0的解集為{x|2，x＜

a-1

a

}，
②若a=-1，原不等式無解．
③若a＜-1，則2＞

a-1

a

此時(shí)f（x）＞0的解集為{x|

a-1

a

＜x＜2}．
綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞2或x＜

a-1

a

}；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|2＜x＜

a-1

a

}；
當(dāng)a=-1時(shí)，不等式的解集為∅；
當(dāng)a＜-1時(shí)，不等式的解集為{

a-1

a

＜x＜2}．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)有閉區(qū)間上的最大值和最小值的求法，考查參數(shù)不等式的解法，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用．