Question

5．已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），則橢圓上一點A（x₀，y₀）處的切線方程為$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1，試運用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），其焦距為2，且過點$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．點B為橢圓C₁在第一象限中的任意一點，過B作C₁的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點，則△OCD面積的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 依題意得：橢圓的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），可得c=1，代入點$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．計算即可求出a，b，從而可求橢圓C₁的方程；設B（x₂，y₂），求得橢圓C₁在點B處的切線方程，分別令x=0，y=0，求得截距，由三角形的面積公式，再結(jié)合基本不等式，即可求△OCD面積的最小值．

解答 解：由橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），可知焦點在x軸，2c=2，即c=1，
∴a²-b²=1，代入點$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，可得$\frac{1}{^{2}+1}+\frac{1}{2^{2}}=1$，解得：b=1，則a²=2
即有橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
設B（x₂，y₂），
則橢圓C₁在點B處的切線方程為：$\frac{{x}_{2}}{2}$x+y₂y=1
令x=0，y_D=$\frac{1}{{y}_{2}}$，令y=0，可得x_C=$\frac{2}{{x}_{2}}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{y}_{2}}$•$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$，
又點B在橢圓的第一象限上，
∴x₂＞0，y₂＞0，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$+y₂²=1，
即有$\frac{1}{{x}_{2}{y}_{2}}$=$\frac{\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{y}_{2}^{2}}{{x}_{2}{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$≥2$\sqrt{\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△OCD≥$\sqrt{2}$，當且僅當$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$=y₂²=$\frac{1}{2}$時，取最小值，
∴當B（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時，三角形OCD的面積的最小值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的最值的求法，基本不等式的性質(zhì)，橢圓切線方程的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．