Question

【題目】由于渤海海域水污染嚴(yán)重，為了獲得第一手的水文資料，潛水員需要潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，潛水員下潛的平均速度為（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間消耗氧氣（升），在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間，每單位時(shí)間消耗氧氣（升），返回水面的平均速度為（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間消耗氧氣（升），記該潛水員完成此次任務(wù)的消耗氧氣總量為（升）.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若，求當(dāng)下潛速度取什么值時(shí)，消耗氧氣的總量最少.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時(shí)，消耗氧氣總量最少.

【解析】

試題分析：（1）由題意，下潛過(guò)程中消耗氧氣（升），返回水面過(guò)程中消耗氧氣（升），水底作業(yè)過(guò)程中消耗氧氣（升），三者求和即可；（2）由（1）知，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得時(shí)消耗氧氣總量最少.

試題解析：（1）由題意，下潛過(guò)程用時(shí)（單位時(shí)間），消耗氧氣（升）， ····3分

水底作業(yè)過(guò)程中消耗氧氣（升），

返回水面過(guò)程用時(shí)（單位時(shí)間），消耗氧氣（升），

∴消耗氧氣總量（升）.·······7分

（2）由（1）知，，∴，·······8分

令得，

在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增， ·······10分

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，

此時(shí)，時(shí)消耗氧氣總量最少，最小值為. ·······12分

②當(dāng)時(shí)，在上遞增，·······13分

此時(shí)時(shí)，消耗氧氣總量最少，最小值為. ·······14分