【題目】如圖,在多面體ABCDE中,,平面ABC,,,F為BC的中點,且.
(1)求證:平面ADF;
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)先證,,證AF⊥平面CDEB,得EF⊥AF,又EF⊥AD,從而EF⊥平面ADF;
(2)過點F作FH⊥AD,垂足為H,連接EH,可得∠EHF為二面角EADF的平面角,然后求出EF和FH,即可求出正切值.
解:(1)因為平面ABC,所以,
因為,F為BC的中點,
所以,又,
所以平面CDEB,
所以,又因為,且,
所以平面ADF.
(2)過點F作,垂足為H,連接EH
由(1)知,
所以為二面角E-AD-F的平面角,
因為,F為BC的中點,
所以
因為,平面ABC,
所以平面ABC,,
所以
由(1)知,所以,
所以,所以
因為,
所以,所以,
因為平面CDEB,所以,所以
由等面積法得,
所以,
所以二面角E-AD-F的正切值為.
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【題目】已知點,點是圓上的任意一點,設(shè)為該圓的圓心,并且線段的垂直平分線與直線交于點.
(1)求點的軌跡方程;
(2)已知兩點的坐標(biāo)分別為, ,點是直線上的一個動點,且直線分別交(1)中點的軌跡于兩點(四點互不相同),證明:直線恒過一定點,并求出該定點坐標(biāo).
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線:,過點的直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),直線與曲線分別交于、兩點.
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)求線段的長和的積.
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【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進(jìn)行調(diào)查,通過抽樣,獲得某年100為居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖的的值;
(2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由.
(3)估計居民月用水量的中位數(shù).
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【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中兩個定點,,如果對于常數(shù),在函數(shù),的圖像上有且只有6個不同的點,使得成立,那么的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】天壇公園是明、清兩代皇帝“祭天”“祈谷”的場所.天壇公園中的圜丘臺共有三層(如圖1所示),上層壇的中心是一塊呈圓形的大理石板,從中心向外圍以扇面形石(如圖2所示).上層壇從第一環(huán)至第九環(huán)共有九環(huán),中層壇從第十環(huán)至第十八環(huán)共有九環(huán),下層壇從第十九環(huán)至第二十七環(huán)共有九環(huán);第一環(huán)的扇面形石有9塊,從第二環(huán)起,每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊,則第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)是______;上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)是_______.
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【題目】在無窮數(shù)列中,是給定的正整數(shù),,.
(Ⅰ)若,寫出的值;
(Ⅱ)證明:數(shù)列中存在值為的項;
(Ⅲ)證明:若互質(zhì),則數(shù)列中必有無窮多項為.
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【題目】在平面立角坐標(biāo)系中,過點的圓的圓心在軸上,且與過原點傾斜角為的直線相切.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點在直線上,過點作圓的切線、,切點分別為、,求經(jīng)過、、、四點的圓所過的定點的坐標(biāo).
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【題目】已知拋物線方程,為焦點,為拋物線準(zhǔn)線上一點,為線段與拋物線的交點,定義:.
(1)當(dāng)時,求;
(2)證明:存在常數(shù),使得.
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