Question

當x∈（1，+∞）時，用數學歸納法證明：?n∈N^*，e^x-1＞

xn

n!

．（n!=1•2•3•…•（n-1）n）

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：導數的概念及應用,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：構造函數g_n（x）=e^x-1-

xn

n!

，當n=1時，只需證明g₁（x）=e^x-1-x＞0（利用導數法易證）；當x∈（1，+∞）時，假設n=k時不等式成立，即g_k（x）=e^x-1-

xk

k!

＞0，去證明
當n=k+1時，不等式也成立，從而證得結論成立即可．

解答： 證明：設g_n（x）=e^x-1-

xn

n!

，
當n=1時，只需證明g₁（x）=e^x-1-x＞0，當x∈（1，+∞）時，g₁′（x）=e^x-1-1＞0，
所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上是增函數，∴g₁（x）＞g₁（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；
當x∈（1，+∞）時，
假設n=k時不等式成立，即g_k（x）=e^x-1-

xk

k!

＞0，
當n=k+1時，
因為g_k+1′（x）=e^x-1-

(k+1)xk

(k+1)!

=e^x-1-

xk

k!

＞0，
所以g_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函數．
所以g（x）＞g_k+1（1）=e⁰-

1

(k+1)!

=1-

1

(k+1)!

＞0，
即當n=k+1時，不等式成立．
由歸納原理，知當x∈（1，+∞）時，?n∈N^*，e^x-1-

xn

n!

．

點評：本題考查數學歸納法的應用，考查構造函數思想與導數法判斷函數的單調性質的綜合應用，考察推理證明能力，屬于難題．