Question

已知點(diǎn) A（0，2）為圓M：x²+y²-2ax-2ay=0外一點(diǎn)，圓M上存在點(diǎn)T使得∠MAT=45°，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：化標(biāo)準(zhǔn)方程易得圓的圓心為M（a，a），半徑r=

2

a，由題意可得1≥

TM

AM

≥sin∠MAT，由距離公式可得a的不等式，解不等式可得．

解答： 解：化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程可得（x-a）²+（y-a）²=2a²，
∴圓的圓心為M（a，a），半徑r=

2

|a|，
∴AM=

a2+(a-2)2

，TM=

2

|a|，
∵AM和TM長度固定，
∴當(dāng)T為切點(diǎn)時(shí)，∠MAT最大，
∵圓M上存在點(diǎn)T使得∠MAT=45°，
∴若最大角度大于45°，則圓M上存在點(diǎn)T使得∠MAT=45°，
∴

TM

AM

=

2 |a|

a2+(a-2)2

≥sin∠MAT=sin45°=

2

2

，
整理可得a²+2a-2≥0，解得a≥

3

-1或a≤-

3

-1，
又

TM

AM

=

2 |a|

a2+(a-2)2

≤1，解得a≤1，
又點(diǎn) A（0，2）為圓M：x²+y²-2ax-2ay=0外一點(diǎn)，
∴0²+2²-4a＞0，解得a＜1
綜上可得

3

-1≤a＜1或a≤-

3

-1
故答案為：

3

-1≤a＜1或a≤-

3

-1

點(diǎn)評：本題考查圓的一般式方程和圓的性質(zhì)，涉及距離公式的應(yīng)用，屬中檔題．