【題目】設、分別是橢圓的左、右焦點，、兩點分別是橢圓的上、下頂點，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是橢圓上異于、的動點，直線、與直線分別相交于、兩點，點，試問：外接圓是否恒過軸上的定點（異于點）？若是，求該定點坐標；若否，說明理由.

【答案】（1）；（2）是，且定點坐標為.

【解析】

（1）利用橢圓的定義可求得的值，再由是等腰直角三角形可求得、的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）設點，求出直線、的斜率之積為，設直線的方程為，可得出直線的方程，進而可求得點、的方程，假設的外接圓過軸上的定點，求出的外接圓圓心的坐標，由結合兩點間的距離公式可求得的值，進而可求得定點的坐標.

（1）因為的周長為，由定義可得，，

所以，所以，

又因為是等腰直角三角形，且，所以，

所以橢圓的方程為：；

（2）設，，則，

所以直線與的斜率之積，

設直線的斜率為，則直線的方程為：，

直線的方程：，

由，可得，同理，

假設的外接圓恒過定點，，

由于線段的垂直平分線所在直線的方程為，

線段的垂直平分線所在直線的方程為，則其圓心，

又，所以，解得，

所以的外接圓恒過定點.

練習冊系列答案
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【題目】半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它們的棱長都相等，其中八個為正三角形，六個為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．若二十四等邊體的棱長為2，則其體積為______；若其各個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為______．

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0項

1項

2項

3項

4項

5項

5項以上

男生（人）

1

10

17

14

14

10

4

女生（人）

0

8

10

6

3

2

1

（1）完成如下列聯(lián)表并判斷是否有95%的把握認為了解垃圾分類與性別有關？

比較了解

不太了解

合計

男生

__________

__________

__________

女生

__________

__________

__________

合計

__________

__________

__________

（2）從能準確分類不少于3項的高中生中，按照男、女生采用分層抽樣的方法抽取9人的樣本.

（i）求抽取的女生和男生的人數(shù)；

（ii）從9人的樣本中隨機抽取兩人，求男生女生都有被抽到的概率.

參考數(shù)據：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

，.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調性；

（2）當時，證明：

（i）；

（ii）證明：．

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【題目】在極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcosθ＝4，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ+2sinθ，以極點為坐標原點O，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，射線l'：y＝kx（x≥0，0＜k＜1）與曲線C交于O，M兩點．

（Ⅰ）寫出直線l的直角坐標方程以及曲線C的參數(shù)方程；

（Ⅱ）若射線l′與直線l交于點N，求的取值范圍．

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【題目】已知數(shù)列滿足，．求證：當時，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）當時，有；

（Ⅲ）當時，有．

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【題目】已知離心率為的橢圓：的上下頂點分別為，，直線：與橢圓相交于，兩點，與相交于點 .

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若，求面積的最大值；

（Ⅲ）設直線，相交于點，求的值.

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【題目】某精密儀器生產廠準備購買，，三種型號數(shù)控車床各一臺，已知這三臺車床均使用同一種易損件.在購進機器時，可以額外購買這種易損件作為備件，每個0.1萬元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個0.2萬元.現(xiàn)需要決策在購買機器時應同時購買幾個易損件，為此搜集并整理了三種型號各120臺車床在一年使用期內更換的易損零件數(shù)，得到如下統(tǒng)計表：

每臺車床在一年中更換易損件的件數(shù)

5

6

7

頻數(shù)

型號

60

60

0

型號

30

60

30

型號

0

80

40

將調查的每種型號車床在一年中更換的易損件的頻率視為概率，每臺車床在易損件的更換上相互獨立.

（Ⅰ）求一年中，，三種型號車床更換易損件的總數(shù)超過18件的概率；

（Ⅱ）以一年購買易損件所需總費用的數(shù)學期望為決策依據，問精密儀器生產廠在購買車床的同時應購買18件還是19件易損件？

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