Question

2013年，首都北京經(jīng)歷了59年來霧霾天氣最多的一個(gè)月．經(jīng)氣象局統(tǒng)計(jì)，北京市從1月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣．《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》依據(jù)AQI指數(shù)高低把空氣污染級(jí)別分為：優(yōu)，指數(shù)為0-50；良，指數(shù)為51-100；輕微污染，指數(shù)為101-150；輕度污染，指數(shù)為151-200；中度污染，指數(shù)為201-250；中度重污染，指數(shù)為251-300；重度污染，指數(shù)大于300．下面表1是某氣象觀測(cè)點(diǎn)記錄的北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，表2是該觀測(cè)點(diǎn)記錄的4天里，AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣可見度y（千米）的情況，
表1：北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)

AQI指數(shù)	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
頻數(shù)	3	6	12	6	3

表2：AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y（千米）情況

AQI指數(shù)M	900	700	300	100
空氣可見度y（千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

（Ⅰ）小王在記錄表1數(shù)據(jù)的觀測(cè)點(diǎn)附近開了一家小飯館，飯館生意的好壞受空氣質(zhì)量影響很大．假設(shè)每天空氣質(zhì)量的情況不受前一天影響．經(jīng)小王統(tǒng)計(jì)：AQI指數(shù)不高于200時(shí)，飯館平均每天凈利潤約700元，AQI指數(shù)在200至400時(shí)，飯館平均每天凈利潤約400元，AQI指數(shù)大于400時(shí)，飯館每天要凈虧損200元，求小王某一天能夠獲利的概率
（Ⅱ）設(shè)變量x=

M

100

，根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式b=

∑ n j=1 xjyj-n . x . y

∑ n j=1 xj2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

）

Answer 1

考點(diǎn)：線性回歸方程

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）AQI指數(shù)不高于200時(shí)，飯館平均每天凈利潤約700元，AQI指數(shù)在200至400時(shí)，飯館平均每天凈利潤約400元，AQI指數(shù)大于400時(shí)，飯館每天要凈虧損200元，直接求小王某一天能夠獲利的概率．
（Ⅱ）利用x=

M

100

，根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，利用b=

∑ n j=1 xjyj-n . x . y

∑ n j=1 xj2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

求出b，a，即可求解y關(guān)于x的線性回歸方程；

解答： 解：（Ⅰ）由表2知AQI指數(shù)不高于200的頻率為

3

30

=0.1，
AQI指數(shù)在200至400的頻率為

6

30

=0.2，故小王某一天能夠獲利的概率為0.1+0.2=0.3…（4分）
（Ⅱ）由x=

M

100

，則x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，

.

x

=5，

.

y

=5

4

i=1

xiyi=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58，

4

i=1

x

2 i

=140
∴b=

58-4×5×5

140-4×52

=-

21

20

，a=5-5×(-

21

20

)=

41

4

∴y關(guān)于x的線性回歸方程是y=-

21

20

x+

41

4

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程的求法，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件求出直線的樣本中心點(diǎn)，線性回歸方程一定過樣本中心點(diǎn)是本題解題的依據(jù)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．