【題目】如圖，在中，，，，現(xiàn)沿的中位線將翻折至，使得二面角為.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由已知可得，進(jìn)而證平面，即可證明結(jié)論；

（2）取中點，連，則，求與平面所成角即可，由（1）得平面平面，在平面內(nèi)過作于，連，可得平面，為與平面所成的角，解即可，或建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.

（1）因為，，所以，，

，所以平面，

平面，所以.

（2）解法一：取中點，在平面內(nèi)過作于，

連接，由（1）可知，平面，∴平面平面，

∴平面，∴為與平面所成的角，

由（1）可知

為二面角的平面角，即，

且，∴，

∵，，

∴，

在中，，

在中，，

∵，∴直線與平面所成角的正弦值也為.

解法二：由（1）得平面，因為，所以平面，

以為原點，，分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，

設(shè)平面的法向量為，

由，即，，

令，則，所以，

設(shè)與平面所成角為，

則.

∴直線與平面所成角的正弦值也為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)），時，若方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）當(dāng)時，若對任意均有成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)直線與曲線和曲線相切，切點分別為，，其中.

①求證：；

②當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月（30天）的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，制表如圖：

每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費情況如下：甲公司規(guī)定每件4.5元；乙公司規(guī)定每天35件以內(nèi)（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；

（2）為了解乙公司員工B的每天所得勞務(wù)費的情況，從這10天中隨機(jī)抽取1天，他所得的勞務(wù)費記為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月（30天）的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，制表如圖：

每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費情況如下：甲公司規(guī)定每件4.5元；乙公司規(guī)定每天35件以內(nèi)（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

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（2）點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點.

①當(dāng)點為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值點；

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【題目】某市為了了解該市教師年齡分布情況，對年齡在內(nèi)的5000名教師進(jìn)行了抽樣統(tǒng)計，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：

年齡區(qū)間

教師人數(shù)

2000

1300

樣本人數(shù)

130

由于不小心，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被污染，看不清了，統(tǒng)計員只記得年齡在的樣本人數(shù)比年齡在的樣本人數(shù)多10，根據(jù)以上信息回答下列問題：

（1）求該市年齡在的教師人數(shù)；

（2）試根據(jù)上表做出該市教師按照年齡的人數(shù)頻率分布直方圖，并求該市教師年齡的平均數(shù)及方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某保險公司對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）：

已知三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元.

（1）求保險公司在該業(yè)務(wù)所或利潤的期望值；

（2）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：

方案1：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；

方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費的70%，職工個人負(fù)責(zé)保費的30%，出險后賠償金由保險公司賠付，企業(yè)無額外專項開支.

請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.

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