Question

已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個映射，點(diǎn)P在映射f下的象為點(diǎn)Q，記作Q=f（P）．設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一個圓，使所有的點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在這個圓內(nèi)或圓上，那么稱這個圓為點(diǎn)P_n（x_n，y_n）的一個收斂圓．特別地，當(dāng)P₁=f（P₁）時，則稱點(diǎn)P₁為映射f下的不動點(diǎn)．若點(diǎn)P（x，y）在映射f下的象為點(diǎn)．
（Ⅰ）求映射f下不動點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若P₁的坐標(biāo)為（2，2），求證：點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一個半徑為2的收斂圓．

Answer 1

（Ⅰ）解：設(shè)不動點(diǎn)的坐標(biāo)為P₀（x₀，y₀），
由題意，得，解得，
所以此映射f下不動點(diǎn)為．

（Ⅱ）證明：由P_n+1=f（P_n），得，
所以，
因?yàn)閤₁=2，y₁=2，
所以，
所以，
由等比數(shù)列定義，得數(shù)列N^*）是公比為-1，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
所以，則．
同理．
所以．
設(shè)，則，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/444658.png' />，
所以，
所以．
故所有的點(diǎn)P_n（n∈N^*）都在以為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，
即點(diǎn)P_n（x_n，y_n）存在一個半徑為2的收斂圓．
分析：（Ⅰ）設(shè)不動點(diǎn)的坐標(biāo)為P₀（x₀，y₀），依據(jù)對應(yīng)關(guān)系及不動點(diǎn)的定義，解方程組，可得不動點(diǎn)的坐標(biāo)．
（Ⅱ）由P_n+1=f（P_n），得，構(gòu)造兩個等比數(shù)列N^*）和{y_n}，
寫出它們的通項(xiàng)公式，設(shè)，計(jì)算P_n到A的距離，可得此距離小于2，故所有的點(diǎn)P_n（n∈N^*）都在以為圓心，2為半徑的圓內(nèi)．
點(diǎn)評：本題考查映射的定義，構(gòu)造等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用．