Question

（09年西城區(qū)抽樣文）（14分）

   已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個映射，點(diǎn)在映射f下的象為點(diǎn)，記作.

設(shè)，,. 如果存在一個圓，使所有的點(diǎn)都在這個圓內(nèi)或圓上，那么稱這個圓為點(diǎn)的一個收斂圓. 特別地，當(dāng)時，則稱點(diǎn)為映射f下的不動點(diǎn).

若點(diǎn)在映射f下的象為點(diǎn).     

(Ⅰ) 求映射f下不動點(diǎn)的坐標(biāo)；

     (Ⅱ) 若的坐標(biāo)為(2,2)，求證：點(diǎn)存在一個半徑為2的收斂圓.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：設(shè)不動點(diǎn)的坐標(biāo)為，

    由題意，得，解得，

    所以此映射f下不動點(diǎn)為.                      -----------------------4分

  （Ⅱ）證明：由，得，                --------------------6分

    所以，

    因?yàn)?IMG height=22 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090514/20090514154440008.gif' width=90>，

    所以，                     

    所以，                     --------------------------8分

    由等比數(shù)列定義，得數(shù)列N^*)是公比為-1，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，

    所以，則.     --------------------------10分

    同理 .                                     

所以 .                 -----------------------11分

    設(shè)，則，             ------------------12分

    因?yàn)?，

    所以，

所以.

    故所有的點(diǎn)都在以為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，

即點(diǎn)存在一個半徑為2的收斂圓.                  ---------------14分