Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為，且橢圓過點．

（I）求橢圓的方程；

（II）若點分別為橢圓的左右頂點，點是橢圓上不同于的動點，直線與直線x=a交于點，證明：以線段為直徑的圓與直線相切.

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】

（I）設(shè)橢圓的焦距為，依題意，列出方程組，求得的值，即可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）方法一 ①設(shè)點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，得到直線的方程，求得點的坐標(biāo)， 進而求得線段的中點為，利用點到直線的距離等于半徑，即可證明；②又由可得點Q的坐標(biāo)，求得線段中點的坐標(biāo),利用圓心到直線的距離等于半徑，可作出證明.

方法二：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得點P的坐標(biāo)，進而求得以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，再由直線與圓的位置關(guān)系的判定，即可得到結(jié)論.

（I）設(shè)橢圓的焦距為，依題意，，

解得，，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（II）方法一①設(shè)點的坐標(biāo)為，，

因為在橢圓上，，，

由兩點的坐標(biāo)為，直線的方程為：，

當(dāng)時，則點的坐標(biāo)為，

設(shè)線段的中點為，則點的坐標(biāo)為，有，

直線的方程為：，整理為，

由，

則點到直線的距離為

，

由，故以為直徑的圓與直線相切.

②若時，則點的坐標(biāo)為或，直線的方程為，直線的方程為或.將代入直線的方程得點的坐標(biāo)為或，線段中點的坐標(biāo)為或，所以.又點到直線的距離

由，故以為直徑的圓與直線相切.

方法二：由（I）知.

依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

設(shè)點的坐標(biāo)為，由，消去得.

，，

的坐標(biāo)為.

因為直線與交點為，的坐標(biāo)為，，

所以以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.

①當(dāng)直線的斜率存在,即，時，

直線的方程為,即，整理得

設(shè)圓心到直線的距離為，則

所以以為直徑的圓與直線相切.

②當(dāng)直線的斜率不存在即時，此時直線的方程為.

圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，此時以為直徑的圓與直線相切.