Question

在△ABC中，記角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c，設S是△ABC的面積，若2SsinA＜（

BA

•

BC

）sinB，則下列結論中：
①a²＜b²+c²；                  ②c²＞a²+b²；
③cosBcosC＞sinBsinC；       ④△ABC是鈍角三角形．
其中正確結論的序號是

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數中的恒等變換應用

專題：解三角形

分析：由題意可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又bsinA=asinB＞0，可得cosB＞sinA＞0，可得A、B均是銳角，從而可得A+B＜90°，∠C＞90°，由余弦定理及兩角和的余弦公式結合三角函數值的符合即可判斷得解．

解答： 解：∵2SsinA＜（

BA

•

BC

）sinB，
∴2×

1

2

bcsinA×sinA＜cacosBsinB，
∴可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，
又由正弦定理可得：bsinA=asinB＞0，
則cosB＞sinA＞0，
可得：A、B均是銳角，
而cosB=sin（90°-B），
故有sin（90°-B）＞sinA，即90°-B＞A，
則A+B＜90°，∠C＞90°，
∴由余弦定理可得：cos∠C=

a2+b2-c2

2ab

＜0，即有：c²＞a²+b²，故②正確，
∴由余弦定理可得：cos∠A=

b2+c2-a2

2bc

＞0，可得a²＜b²+c²，故①正確；
∴△ABC是鈍角三角形，故④正確；
∵cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=-cosA＜0，故③不正確；
故答案為：①②④．

點評：本題考查了余弦定理，正弦定理，三角形面積公式，兩角和的余弦公式等知識的應用，借助考查命題的真假判斷，考查三角形形狀的判斷，屬于中檔題．