Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，且函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)定義域和根的大小，分， 兩種情況討論求解.

（2）根據(jù)（1），當(dāng)時，的單調(diào)遞，故不存在兩個零點，當(dāng)時，由（1）可知，要使函數(shù)有兩個零點，則需，即，令，研究其最大值，再結(jié)合，確定實數(shù)的最大值.

（1）∵，

∴，

當(dāng)時，，此時的增區(qū)間為，

當(dāng)時，由可得，此時的增區(qū)間為，減區(qū)間為，

綜上：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，

當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）可知，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故不存在兩個零點，

當(dāng)時，由（1）可知，

要使函數(shù)有兩個零點，則，

即，

即，

設(shè)，

∴，

∴為上的減函數(shù)，

又，，

∴，使，

∴時，，

時，，

∵，∴，

又∵，

∴，∴，

此時，

符合題意，

∴.