Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE是邊長(zhǎng)為6的正三角形．
（1）求證：平面DEC⊥平面BDE；
（2）求二面角C-BE-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理證明BD⊥CD，BD⊥DE，可得BD⊥平面DEC，利用平面與平面垂直的判定定理，即可證明平面DEC⊥平面BDE；
（2）求出S_△CBE、S_△BED，即可求二面角C-BE-D的余弦值．

解答： （1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形，
AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，所以BD=

13

，
又因?yàn)锽C=7，CD=6，所以根據(jù)勾股定理可得BD⊥CD，
因?yàn)锽E=7，DE=6，同理可得BD⊥DE．
因?yàn)镈E∩CD=D，DE?平面DEC，CD?平面DEC，
所以BD⊥平面DEC．
因?yàn)锽D?平面BDE，
所以平面DEC⊥平面BDE；
（2）解：在△CBE中，BC=7，CE=6，BE=7，∴S_△CBE=

1

2

×6×

49-9

=6

10

，
在△BED中，BD=

13

，DE=6，BE=7，∴S_△BED=

1

2

×6×

13

=3

13

，
∴二面角C-BE-D的余弦值為

3 13

6 10

=

130

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直，考查二面角C-BE-D的余弦值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．