Question

函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)=-2代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后由導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)期間，找到極小值點(diǎn)，求出極小值，也就是最小值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，然后分a≥-1、a≤-e、-e＜a＜-1借助于導(dǎo)數(shù)分析原函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，由單調(diào)性求得最小值，由最小值為

3

2

求得a的值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=ln x+

2

x

，f′（x）=

x-2

x2

，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（2）=ln 2+1；
（2）f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
①當(dāng)a≥-1時(shí)，對(duì)任意x∈[1，e]，
f′（x）≥0，此時(shí)f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

（舍）．
②當(dāng)a≤-e時(shí)，對(duì)任意x∈[1，e]，
f′（x）≤0，此時(shí)f（x）在[1，e]上為減函數(shù)．
∴f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

．
∴a=-

e

2

（舍）．
③當(dāng)-e＜a＜-1時(shí)，令f′（x）=0，得x=-a，當(dāng)1＜x＜-a時(shí)，f′（x）＜0，
f（x）在（1，-a）上遞減．同理，f（x）在（-a，e）上遞增．
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
∴a=-

e

．綜上，a=-

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，是中檔題．