Question

【題目】已知函數(shù)， ，且直線是函數(shù)的一條切線．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）對任意的，都存在，使得，求的取值范圍；

（Ⅲ）已知方程有兩個根（），若，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)切點，由題意得 解得

（Ⅱ）由題意可得f(x)的值域是g(x)的值域的子集，可得，

解得．

（Ⅲ）依題意得 兩式相減得， 進而方程可轉(zhuǎn)化為則，令， ，證得，所以，即．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線與相切于點，

，

依題意得 解得

所以，經(jīng)檢驗： 符合題意

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，

當時， 所以在上單調(diào)遞減，

所以當時， ， ，

，

當時， ，所以在上單調(diào)遞增，

所以當時， ， ，

依題意得，

所以 解得．

（Ⅲ）依題意得

兩式相減得，

所以，

方程可轉(zhuǎn)化為

，

即，

令，則，則，

令， ，

因為，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

所以，即．

點晴：本題主要考查函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性，函數(shù)導數(shù)研究圖象與性質(zhì)等知識.首先畫出兩個函數(shù)的圖象，由此來理解題意“對， ，使得”，根據(jù)圖象，將問題等價變形為對于相同的函數(shù)值，兩個函數(shù)對應(yīng)的自變量的距離的最小值來求.構(gòu)造函數(shù)后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此求得最值.