Question

已知n是正整數(shù)，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{na_n}的前n項和為T_n．對任何正整數(shù)n，等式S_n=-a_n+

1

2

（n-3）都成立．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求T_n；
（III）設A_n=2T_n，B_n=（2n+4）S_n+3，比較A_n與B_n的大�。�

Answer 1

分析：（I）先把n=1代入S_n=-a_n+

1

2

（n-3）求出a₁=-

1

2

；再利用n≥2，a_n=S_n-S_n-1得到關(guān)于a_n=和

1

2

a_n-1之間的遞推關(guān)系式，得到數(shù)列{an-

1

2

}為等比數(shù)列，從而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）先將（I）求出a_n的通項代入na_n中表示出T_n，求和時利用錯位相減法，化簡得到T_n；
（III）先求出S_n，再利用作差的方法求解．

解答：解：（I） 當n=1時，由sn=-an+

1

2

(n-3)的S1=a1=-a1+

1

2

(1-3)，
解得a1= -

1

2

…2分
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-an+

1

2

(n-3)-[-an-1+

1

2

(n-4)]
解得 an=

1

2

an-1+

1

4

，即an-

1

2

=

1

2

(an-1-

1

2

)
因此，數(shù)列{an-

1

2

}是首項為-1，公比為

1

2

的等比數(shù)列
∴an-

1

2

=(-1)•(

1

2

)n-1，
即an=

1

2

-

1

2n-1

，…7分
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=

1

2

-

1

2n-1

．
（II）∵nan=

n

2

-n•

1

2n-1

，
∴Tn=

1

2

(1+2+3+…+n)-(1+2×

1

2

+3×

1

22

+…+n×

1

2n-1

)…6分
令Un= 1+2×

1

2

+3×

1

22

+…+n×

1

2n-1

．
則

1

2

Un= 

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

．
上面兩式相減：

1

2

Un= 1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n×

1

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•

1

2n

，即Un=4-

n+2

2n-1

．
∴Tn =

n(n+1)

4

-4+ 

n+2

2n-1

=

n2+n-16

4

+

n+2

2n-1

…8分            
 （III）∵S_n=-a_n+

n-3

2

=-

1

2

+

1

2n-1

+

n-3

2

=

n-4

2

+

1

2n-1

，
∴An-Bn=

n2+n-16

2

+

n+2

2n-2

-

(2n+4)(n-4)

2

-

n+2

2n-2

-3
=

-n2+5n-6

2

…10分
∵當n=2或n=3時，

-n2+5n-6

2

的值最大，最大值為0，
∴A_n-B_n≤0．
因此，當n是正整數(shù)時，A_n≤B_n．…12分

點評：此題①考查an=

s1 sn-sn-1

這種關(guān)系，②考查等比數(shù)列的一般求法，③數(shù)列求和中的錯位相減法．