【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E、F分別是AB、PB的中點
(1)求證:EF⊥CD;
(2)在平面PAD內(nèi)求一點G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結(jié)論;
(3)求DB與平面DEF所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),
設(shè)AD=a,則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E(a, ,0)、F( , , )、P(0,0,a)
∵ =(﹣ ,0, ), =(0,a,0),
∴ =(﹣ ,0, )(0,a,0)=0,
∴ ⊥
∴EF⊥DC
(2)解:設(shè)G(x,0,z),則G∈平面PAD.
=(x﹣ ,﹣ ,z﹣ ),
=(x﹣ ,﹣ ,z﹣ )(a,0,0)=a(x﹣ )=0,∴x= ;
=(x﹣ ,﹣ ,z﹣ )(0,﹣a,a)= +a(z﹣ )=0,∴z=0.
∴G點坐標(biāo)為( ,0,0),即G點為AD的中點
(3)解:設(shè)平面DEF的法向量為 =(x,y,z).
由 得:
取x=1,則y=﹣2,z=1,
∴ =(1,﹣2,1).
cos< , >= = = ,
∴DB與平面DEF所成角的正弦值的大小為
【解析】以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,可求出各點的坐標(biāo);(1)求出EF和CD的方向向量,根據(jù)向量垂直的充要條件,可證得 ⊥ ,即EF⊥DC.(2)設(shè)G(x,0,z),根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可得 = =0,進而可求出x,z值,得到G點的位置;(3)求出平面DEF的法向量為 ,及DB的方向 的坐標(biāo),代入向量夾角公式,可得DB與平面DEF所成角的正弦值
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,以及對直線與平面垂直的性質(zhì)的理解,了解垂直于同一個平面的兩條直線平行.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)p:A={x|2x2﹣3ax+a2<0},q:B={x|x2+3x﹣10≤0}.
(1)求A;
(2)當(dāng)a<0時,若¬p是¬q的必要不充分條件,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)頂點在原點,焦點在軸上的拋物線過點,過作拋物線的動弦, ,并設(shè)它們的斜率分別為, .
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若,求證:直線的斜率為定值,并求出其值;
(III)若,求證:直線恒過定點,并求出其坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機,對其銷售額進行統(tǒng)計,統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示),設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為中位數(shù)分別為則( )
A. x甲<x乙,m甲>m乙 B. x甲>x乙,m甲>m乙
C. x甲>x乙,m甲<m乙 D. x甲<x乙,m甲<m乙
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【題目】在下列各函數(shù)中,最小值等于2的函數(shù)是( )
A.y=x+
B.y=cosx+ (0<x< )
C.y=
D.y=
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【題目】如圖所示,某幾何體的三視圖都是直角三角形,則該幾何體的體積等于__________.
【答案】10
【解析】幾何體為三棱錐,(高為4,底面為直角三角形),體積為
點睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略
(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體,則可直接利用公式進行求解.
(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解.
(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.
【題型】填空題
【結(jié)束】
15
【題目】如圖:在三棱錐中,已知底面是以為斜邊的等腰直角三角形,且側(cè)棱長,則三棱錐的外接球的表面積等于__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時,.其中且.
(1)求的解析式;
(2)解關(guān)于的不等式,結(jié)果用集合或區(qū)間表示.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a為正實數(shù),且為常數(shù))
(1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
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