Question

已知函數(shù)在點處的切線方程是x+ y－l=0，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)g（x）=1nx－ cx+ 1+ c（c>0），對一切x∈（0,+）均有恒成立．

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,,；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求、，利用導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性，用函數(shù)的最值積恒成立求；（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求的最小值，利用結(jié)合（Ⅰ）中的結(jié)論進行證明.

試題解析：（Ⅰ）,,,

,.                                   (2分)

,由于,

 所以當時,是增函數(shù),

 當時,是減函數(shù),

 ,

由恒成立，，即恒成立，①      （4分）

令，則，

在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)，

，即，當且僅當時等號成立 .

，

 由①②可知，，所以.            (6分)

（Ⅱ）證法一:所求證不等式即為.

設(shè),,

當時,是減函數(shù),

當時,是減函數(shù),

,即.              (8分)

由（Ⅰ）中結(jié)論②可知,,,當時,,

從而                    (10分)

.

(或者也可)

即,原不等式成立.                            (12分)

考點：導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，恒成立，不等式的證明.