Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對于?x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當(dāng)X∈[0，1]時，f（x）=（

1

2

）^1-x，則
（1）f（x）的周期是2；         
（2）f（x）在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增；
（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；  
（4）當(dāng)x∈（3，4）時，f（x）=（

1

2

）^x-3
其中正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意，f（x+2）=f[（x+1）-1]=f（x），可判斷（1）；
（2）利用x∈[0，1]時，f（x）=（

1

2

）^1-x=2^x-1，可判斷f（x）在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，利用其周期性與偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷（2）；
（3）利用函數(shù)的周期性、奇偶性及單調(diào)性可判斷（3）；
（4）當(dāng)x∈（3，4）時，x-4∈（-1，0），4-x∈（0，1），從而可得f（4-x）=（

1

2

）^1-（4-x）=(

1

2

)x-3，又f（x）是周期為2的偶函數(shù)，可判斷（4）．

解答： 解：（1）∵對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f[（x+1）-1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正確；
（2）∵x∈[0，1]時，f（x）=（

1

2

）^1-x=2^x-1為增函數(shù)，又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞減，又其周期T=2，
∴f（x）在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增，（2）正確；
（3）由（2）x∈[0，1]時，f（x）=（

1

2

）^1-x=2^x-1為增函數(shù)，f（x）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞減，且其周期為2可知，
f（x）_max=f（1）=2^1-1=2⁰=1，f（x）_min=f（0）=2^0-1=

1

2

，故（3）錯誤；
（4）當(dāng)x∈（3，4）時，x-4∈（-1，0），4-x∈（0，1），
∴f（4-x）=（

1

2

）^1-（4-x）=(

1

2

)x-3，又f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
∴f（4-x）=f（x）=(

1

2

)x-3，（4）正確．
綜上所述，正確的命題的序號是（1）（2）（4），
故答案為：（1）（2）（4）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查抽象函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性即最值的綜合應(yīng)用，屬于難題．