Question

【題目】已知橢圓的右焦點為F，直線l與C交于M，N兩點.

（1）若l過點F，點M，N到直線y＝2的距離分別為d1，d2，且，求l的方程；

（2）若點M的坐標為（0，1），直線m過點M交C于另一點N′，當直線l與m的斜率之和為2時，證明：直線NN′過定點.

Answer 1

【答案】（1）x﹣y﹣1＝0或x﹣2y﹣1＝0（2）證明見解析；

【解析】

（1）由若l過橢圓的右焦點F（1,0），設(shè)直線l的方程為x＝my+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去x，得交點M，N的縱坐標關(guān)系，因為點M，N到直線y＝2的距離分別為d1，d2，則d1+d2＝2﹣yM+2﹣yN＝4﹣（yM+yN），轉(zhuǎn)化為m的方程，求得m即可.

（2）分類討論，當直線NN'的斜率不存在和存在兩種情況，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去一個變量，由韋達定理得出N，N'的坐標的關(guān)系式，再由當直線l與m的斜率之和為2，列出方程，求出直線方程，即可得直線NN'過定點（﹣1,﹣1）.

（1）易知F（1,0），設(shè)直線l的方程為x＝my+1，

由得（m2+2）y2+2my﹣1＝0.則yM+yN.

因為d1+d2＝2﹣yM+2﹣yN＝4﹣（yM+yN）＝4.

所以m＝1或m＝2.

故l的方程為x﹣y﹣1＝0或x﹣2y﹣1＝0.

（2）證明：當直線NN'的斜率不存在時，設(shè)N（x0,y0），則N'（x0,﹣y0）.

由kl+km＝2，得2，解得x0＝﹣1.

當直線NN'的斜率存在時，

設(shè)直線NN'的方程為y＝kx+t（t≠1），N（x1,y1），N'（x2,y2）.

由得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0.

所以x1+x2，x1x2；

因為kl+km＝2.

所以2k2k2k2.

所以t＝k﹣1，所以直線NN'的方程為y＝kx+k﹣1，即y+1＝k（x+1）.

故直線NN'過定點（﹣1,﹣1）.

綜上，直線NN'過定點（﹣1,﹣1）.