【題目】已知直線與橢圓交于不同的兩點，.

（1）若線段的中點為，求直線的方程；

（2）若的斜率為，且過橢圓的左焦點，的垂直平分線與軸交于點，求證：為定值.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）利用點差法可求得直線的斜率，進而求得直線的方程；

（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，進而表示出中點坐標；當時，易求得的值；當時，可得垂直平分線方程，進而求得點坐標和，利用弦長公式求得，進而求得的值；綜合兩種情況可知為定值.

（1）設(shè)，，

則，兩式作差得：，

中點為，，，

直線的方程為：，即：.

（2）由橢圓方程知：，可設(shè)直線的方程：，

聯(lián)立得：，

設(shè)，，則，，

，

，，

當時，，，；

當時，的垂直平分線方程為：，

令得：，，，

，

；

綜上所述：為定值.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知， .

（Ⅰ）若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，“或”為真命題，“且”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，底面，，，是的中點，是線段上的一點，且，連接，，.

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若是函數(shù)的極值點，求的極小值；

（2）若對任意的實數(shù)a，函數(shù)在上總有零點，求實數(shù)b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】西安市自2017年5月啟動對“車不讓人行為”處罰以來，斑馬線前機動車搶行不文明行為得以根本改變，斑馬線前禮讓行人也成為了一張新的西安“名片”.

但作為交通重要參與者的行人，闖紅燈通行卻頻有發(fā)生，帶來了較大的交通安全隱患及機動車通暢率降低，交警部門在某十字路口根據(jù)以往的檢測數(shù)據(jù)，得到行人闖紅燈的概率約為0.4，并從穿越該路口的行人中隨機抽取了200人進行調(diào)查，對是否存在闖紅燈情況得到列聯(lián)表如下：

30歲以下

30歲以上

合計

闖紅燈

60

未闖紅燈

80

合計

200

近期，為了整頓“行人闖紅燈”這一不文明及項違法行為，交警部門在該十字路口試行了對闖紅燈行人進行經(jīng)濟處罰，并從試行經(jīng)濟處罰后穿越該路口行人中隨機抽取了200人進行調(diào)查，得到下表：

處罰金額（單位：元）

5

10

15

20

闖紅燈的人數(shù)

50

40

20

0

將統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得頻率代替概率，完成下列問題.

（Ⅰ）將列聯(lián)表填寫完整（不需寫出填寫過程），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析，在未試行對闖紅燈行人進行經(jīng)濟處罰前，是否有99.9%的把握認為闖紅燈與年齡有關(guān)；

（Ⅱ）當處罰金額為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少；

（Ⅲ）結(jié)合調(diào)查結(jié)果，談談如何治理行人闖紅燈現(xiàn)象.

參考公式： ，其中

參考數(shù)據(jù)：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.132

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點.

（1）求證：直線平面；

（2）點在棱上，且二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，，，，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動點到直線的距離比到點的距離大

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）為上兩點，為坐標原點，，過分別作的兩條切線，相交于點，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，∥，，，將直角梯形沿對角線折起，使點到點位置，則四面體的體積的最大值為________，此時，其外接球的表面積為________．

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