【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義得，又橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，由橢圓幾何條件得，解得， （2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得，再利用點(diǎn)到直線距離公式求高，根據(jù)三角形面積公式得．最后利用基本不等式求最值.

試題解析：解：（Ⅰ）由已知，設(shè)橢圓的方程為．

∵橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，

∴．

又，∴．

由，得．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）設(shè)．

聯(lián)立消去，得．

此時(shí)有．

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得

， ．

∴．

∵原點(diǎn)到直線的距離，

∴．

由，得．又，∴據(jù)基本不等式，得

．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)．

∴面積的最大值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】當(dāng)今信息時(shí)代，眾多高中生也配上了手機(jī).某校為研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響，隨機(jī)抽取高三年級(jí)50名理科生的一次數(shù)學(xué)周練成績(jī)，用莖葉圖表示如下圖：

（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響？

及格（）

不及格

合計(jì)

很少使用手機(jī)

經(jīng)常使用手機(jī)

合計(jì)

（2）從50人中，選取一名很少使用手機(jī)的同學(xué)記為甲和一名經(jīng)常使用手機(jī)的同學(xué)記為乙，解一道數(shù)列題，甲、乙獨(dú)立解決此題的概率分別為， ， ，若，則此二人適合結(jié)為學(xué)習(xí)上互幫互助的“師徒”，記為兩人中解決此題的人數(shù)，若，問兩人是否適合結(jié)為“師徒”？

參考公式及數(shù)據(jù)： ，其中.

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】四棱錐P﹣ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正視圖與側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形．則在四棱錐P﹣ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中，互相垂直的異面直線共有 對(duì)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】分別求適合下列條件的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）實(shí)軸長(zhǎng)為12，離心率為，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

（2）頂點(diǎn)間的距離為6，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2|x|﹣1．
（1）證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的圖象．并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）求函數(shù)f（x）當(dāng)x∈[﹣2，4]時(shí)的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（1）= ，試求f（x）在區(qū)間[﹣2，6]上的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直角三角形中， ， ， ， 為線段上一點(diǎn)，且，沿邊上的中線將折起到的位置.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）當(dāng)平面平面時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，1為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求函數(shù)在上的最小值.

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax－by=0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為____________．

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同步練習(xí)冊(cè)答案