Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1+a_n=3•2^n-1（n≥2）．
（1）求a₂，a₃；
（2）求a_n的通項(xiàng)公式；
（3）對(duì)于n∈N^*有 

1

2n-1

＜

2n+1

(2n-1)(2n+1-1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），證明：

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an+1-1

＜

5

3

（n≥1）

Answer 1

分析：（1）利用a₁=1，a_n+1+a_n=3•2^n-1（n≥2），代入計(jì)算，可得a₂，a₃；
（2）先猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；
（3）先證明

2n+1

2n+1-1

＞1，可得

1

2n-1

＜

2n+1

(2n-1)(2n+1-1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），再利用放縮法可得結(jié)論．

解答：（1）解：∵a₁=1，a_n+1+a_n=3•2^n-1（n≥2），∴a₂=2，a₃=4，
（2）解：由（1）猜想a_n=2^n-1；
證明如下：當(dāng)n=1時(shí)，成立            
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，成立，即a_k=2^k-1，
∵a_n+1+a_n=3•2^n-1，∴a_k+1=a_k+3•2^k-1=2^k，
∴n=k+1時(shí)，結(jié)論成立
綜上，a_n=2^n-1；
（3）證明：∵2ⁿ⁺¹＞2ⁿ⁺¹-1，∴

2n+1

2n+1-1

＞1，
∴

1

2n-1

＜

2n+1

(2n-1)(2n+1-1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），
∴

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an+1-1

＜2（

1

2-1

-

1

22-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
＜1+2（

1

3

-

1

7

）+…+2（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）=1+

2

3

-

2

2n+1-1

＜

5

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題能力，屬于中檔題．