Question

已知函數(shù)f（x）=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

（其中e=2.71718…），有下列命題：
①f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)；
②對任意x∈R，都有f（2x）=f（x）•g（x）；
③f（x）在R上單調(diào)遞增，g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
④f（x）無最值，g（x）有最小值；
⑤f（x）有零點，g（x）無零點．
其中正確的命題是

 

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：直接由函數(shù)奇偶性的定義判斷①正確；代值驗證②錯誤；由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷③正確；由函數(shù)的單調(diào)性說明f（x）無最值，g（x）有最小值；直接求出f（x）的零點，由單調(diào)性及奇偶性和最值說明g（x）無零點．

解答： 解：∵f（-x）=

e-x-ex

2

=-

ex-e-x

2

，
g（-x）=

e-x+ex

2

=

ex+e-x

2

，
∴f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，命題①正確；
f（2x）=

e2x-e-2x

2

=

(ex-e-x)(ex+e-x)

2

f（x）•g（x）=

(ex-e-x)(ex+e-x)

4

，
∴命題②不正確；
函數(shù)y=e^x，y=-e^-x在實數(shù)集上均為增函數(shù)，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增，
設(shè)x₁＜x₂＜0，
則g(x1)-g(x2)=

ex1+e-x1

2

-

ex2+e-x2

2

=

1

2

[(ex1-ex2)(1-

1

ex1ex2

)]．
∵x₁＜x₂＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）．
g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，命題③正確；
由③結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知f（x）無最值，當(dāng)x=0時，g（x）有最小值1，命題④正確；
由f（x）=0，即

ex-e-x

2

=0，得x=0，
∴f（x）有零點0，
g（x）在x=0時有最小值1，且函數(shù)是偶函數(shù)，
∴g（x）無零點，命題⑤正確．
故答案為：①③④⑤．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．