Question

一個盒子里有2個黑球和m個白球（m≥2，且m∈N^*）．現(xiàn)舉行摸獎活動：從盒中取球，每次取2個，記錄顏色后放回．若取出2球的顏色相同則為中獎，否則不中．
（Ⅰ）求每次中獎的概率p（用m表示）；
（Ⅱ）若m=3，求三次摸獎恰有一次中獎的概率；
（Ⅲ）記三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p），當(dāng)m為何值時(shí)，f（p）取得最大值？

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型,排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用取出2球的顏色相同則為中獎，可得每次中獎的概率p=

C 2 m + C 2 2

C 2 m+2

=

m2-m+2

m2+3m+2

；
（Ⅱ）m=3，每次中獎的概率p=

2

5

，可得三次摸獎恰有一次中獎的概率為

C

1 3

•

2

5

•(1-

2

5

)2；
（Ⅲ）求出三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p）=

C

1 3

p(1-p)2=3p³-6p²+3p（0＜p＜1），利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，可得p=

1

3

時(shí)，f（p）取得最大值，從而求出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵取出2球的顏色相同則為中獎，
∴每次中獎的概率p=

C 2 m + C 2 2

C 2 m+2

=

m2-m+2

m2+3m+2

；
（Ⅱ）若m=3，每次中獎的概率p=

2

5

，
∴三次摸獎恰有一次中獎的概率為

C

1 3

•

2

5

•(1-

2

5

)2=

54

125

；
（Ⅲ）三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p）=

C

1 3

p(1-p)2=3p³-6p²+3p（0＜p＜1），
∴f′（p）=3（p-1）（3p-1），
∴f（p）在（0，

1

3

）上單調(diào)遞增，在（

1

3

，1）上單調(diào)遞減，
∴p=

1

3

時(shí)，f（p）取得最大值，即p=

m2-m+2

m2+3m+2

=

1

3

∴m=2，即m=2時(shí)，f（p）取得最大值．

點(diǎn)評：本題考查概率的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．