對于數(shù)列{xn},從中選取若干項,不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序,得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列.某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個概念之后,打算研究首項為正整數(shù)a,公比為正整數(shù)q(q>0)的無窮等比數(shù)列{an}的子數(shù)列問題.為此,他任取了其中三項ak,am,an(k<m<n).
(1)若ak,am,an(k<m<n)成等比數(shù)列,求k,m,n之間滿足的等量關(guān)系;
(2)他猜想:“在上述數(shù)列{an}中存在一個子數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”,為此,他研究了ak+an與2an的大小關(guān)系,請你根據(jù)該同學(xué)的研究結(jié)果來判斷上述猜想是否正確;
(3)他又想:在首項為正整數(shù)a,公差為正整數(shù)d的無窮等差數(shù)列中是否存在成等比數(shù)列的子數(shù)列?請你就此問題寫出一個正確命題,并加以證明.

解:(1)由已知可得:ak=aqk-1,am=aqm-1,an=aqn-1,…(1分)
=ak•an,即有(aqm-12=(aqk-1)(aqn-1),….(3分)
2(m-1)=(k-1)+(n-1),化簡可得.2m=k+n.…..(4分)
(2)ak+an=aqk-1+aqn-1,又2am=2aqm-1,
故 (ak+an)-2am=aqk-1+aqn-1-2aqm-1=aqk-1(1+qn-k-2qm-k),…..(6分)
由于k,m,n是正整數(shù),且n>m,則n≥m+1,n-k≥m-k+1,
又q是滿足q>1的正整數(shù),則q≥2,
1+qn-k-2qm-k≥1+qm-k+1-2qm-k=1+q•qm-k-2qm-k≥1+2qm-k-2qm-k=1>0,
所以,ak+an>2am,從而上述猜想不成立.…..(10分)
(3)命題:對于首項為正整數(shù)a,公差為正整數(shù)d的無窮等差數(shù)列{an},總可以找到一個無窮子數(shù)列{bn},使得{bn}是一個等比數(shù)列.…(13分)
此命題是真命題,下面我們給出證明.
證法一:只要證明對任意正整數(shù)n,bn=a(1+d)n,n≥1都在數(shù)列{an}中.因為bn=a(1+d)n=a(1+d+d2+…+dn)=a(Md+1),
這里M=+d+…+dn-1為正整數(shù),所以a(Md+1)=a+aMd是{an}中的第aM+1項,證畢.…..(18分)
證法二:首項為a,公差為d( a,d∈N*)的等差數(shù)列為a,a+d,a+2d,…,考慮數(shù)列{an}中的項:
a+ad,a+(2a+ad)d,a+(3a+3ad+d2)d,…
依次取數(shù)列{bn}中項b1=a+ad=a(1+d),b2=a+(2a+ad)d=a(1+d)2,b3=a+(3a+3ad+d2)d=a(1+d)3,則由a<2a+ad<3a+3ad+d2,可知=,
并由數(shù)學(xué)歸納法可知,數(shù)列bn=a(1+d)n,n≥1為列{an}的無窮等比子數(shù)列…(18分)
分析:(1)依題意,由=ak•an,即可求得k,m,n之間滿足的等量關(guān)系;
(2)利用作差法判斷(ak+an)-2am的結(jié)果是否為0即可判斷上述猜想是否正確;
(3)命題:對于首項為正整數(shù)a,公差為正整數(shù)d的無窮等差數(shù)列{an},總可以找到一個無窮子數(shù)列{bn},使得{bn}是一個等比數(shù)列,此命題是真命題,;
證法一:利用二項式定理(1+d)n=(1+d+d2+…+dn),即可證明a(Md+1)=a+aMd是{an}中的第aM+1項(M=+d+…+dn-1為正整數(shù));
證法二:先猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
點評:本題考查等差與等比關(guān)系的確定,考查數(shù)學(xué)歸納法與分析法證明問題的能力,考查考查創(chuàng)新思維與邏輯思維能力及綜合運算的能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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  1. A.
    46
  2. B.
    76
  3. C.
    106
  4. D.
    110

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  1. A.
    (1,2)
  2. B.
    (1,3)
  3. C.
    (1,1+數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    (2,1+數(shù)學(xué)公式

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使log2(-x)<x+1成立的x的取值范圍是


  1. A.
    (-1,0)
  2. B.
    [-1,0)
  3. C.
    (-2,0)
  4. D.
    [-2,0)

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如果命題“p∨q”為假命題,則


  1. A.
    p,q均為假命題
  2. B.
    p,q中至少有一個真命題
  3. C.
    p,q均為真命題
  4. D.
    p,q中只有一個真命題

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  1. A.
    λ1:λ2
  2. B.
    λ2:λ3
  3. C.
    λ3:λ2
  4. D.
    λ2:λ1

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已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖,俯視圖是等腰直角三角形,那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為


  1. A.
  2. B.
  3. C.
  4. D.

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圓(x+1)2+(y-2)2=5的圓心和半徑為


  1. A.
    圓心(1、2)半徑5
  2. B.
    圓心(-1、2)半徑5
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式

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同步練習(xí)冊答案