Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ， .

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，試求的取值范圍；

（3）證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

（1）求出導(dǎo)數(shù)，計(jì)算得切線(xiàn)斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，整理成一般式即可；

（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，首先用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、極值，然后由零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷，求出，按分類(lèi)討論， 時(shí)， 只有一個(gè)零點(diǎn)； 時(shí)， ，這樣易判斷的正負(fù)，從而得的單調(diào)區(qū)間和極值，由零點(diǎn)存在定理可判斷符合題意；在時(shí)， 有兩個(gè)解和，又要按的大小分類(lèi)研究的正負(fù)得的單調(diào)性，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后綜合可得；

（3）證明函數(shù)不等式，可證，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，只要最大值小于等于0，即證．

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域是， .

當(dāng)時(shí)， ， .

所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.

即.

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，由已知得.

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)，因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又， ，

因?yàn)?/span>，所以， 所以，所以

取，顯然且

所以， .

由零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，由，得，或.

當(dāng)，則.

當(dāng)變化時(shí)， ， 變化情況如下表：

注意到，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)，則， 在單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

若，則.

當(dāng)變化時(shí)， ， 變化情況如下表：

注意到當(dāng)， 時(shí)， ， ，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

綜上， 的取值范圍是.

（3）證明： .

設(shè)，其定義域?yàn)?/span>，則證明即可.

因?yàn)?/span>，取，則，且.

又因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在上單增.

所以有唯一的實(shí)根，且.

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

所以函數(shù)的最小值為.

所以.

所以.