設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值;
(2)令其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng),方程有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)的值.
(1)函數(shù)的最大值為;(2)實(shí)數(shù)的取值范圍是;(3).

試題分析:(1)將代入函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值;(2)先求出函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立的問題來處理,利用二次函數(shù)的最值的求法求的最大值,從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)來處理,結(jié)合導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性,利用極值與最值的關(guān)系求出正數(shù)的值.
試題解析:(1)依題意,知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023928474535.png" style="vertical-align:middle;" />,
當(dāng)時(shí),,      2分
令,解得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023928568518.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一解,所以,當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減。
所以的極大值為,此即為最大值        4分
(2),則有上恒成立,
,             
當(dāng)時(shí),取得最大值,所以     8分
(3)因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023928973714.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解,所以有唯一實(shí)數(shù)解,
設(shè),則
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023929067578.png" style="vertical-align:middle;" />所以(舍去),,
當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),取最小值.     10分
 即 
所以因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023929504479.png" style="vertical-align:middle;" />所以     12分
設(shè)函數(shù),因?yàn)楫?dāng)時(shí),是增函數(shù),所以至多有一解.
,∴方程(*)的解為,即,解得   14分
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函數(shù),數(shù)列,滿足0<<1, ,數(shù)列滿足,
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設(shè),函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若無零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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