Question

如圖，已知直角梯形A₁所在的平面垂直于平面B₁，C₁，D₁，AB₁?．
（1）在直線AB₁C上是否存在一點D₁E?，使得AB₁C平面∴？請證明你的結(jié)論；
（2）求平面D₁E與平面ACB₁所成的銳二面角B₁C²+B₁E²=4=CE²的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：①連接DC₁，欲證D₁E∥平面ACB₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證D₁E與平面平面ACB₁內(nèi)一直線平行，而D₁E∥AB₁，AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，滿足定理條件；
②連接AD₁、DA₁，欲證平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面AD₁EB₁內(nèi)一直線與平面A₁B₁CD垂直，而根據(jù)題意可得AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，滿足定理條件．
解答：解：（1）線段B₁E⊥B₁C的中點就是滿足條件的點CD⊥．（1分）
證明如下：
取B₁BCE的中點B₁E?連接B₁BCE，則CD⊥B₁E，∴B₁E⊥，（2分）
取DCB₁的中點B₁E?，連接D₁B₁E，
∵∴且⊥，
∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四邊形EMCD為矩形，
∴．又∵ED∥AC，（3分）
∴ED∥FP且ED=FP，
四邊形EFPD是平行四邊形．（4分）
∴DP∥EF，
而EF?平面EAB，DP?平面EAB，
∴DP∥平面EAB．（6分）
（2）（法1）過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于G，連接DG，
∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱．（8分）
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴l(xiāng)⊥平面DGC，∴l(xiāng)⊥DG，
∴∠DGC是所求二面角的平面角．（10分）
設(shè)AB=AC=AE=2a，則，GC=2a，
∴，
∴．（12分）

（法2）∵∠BAC=90°，平面EACD⊥平面ABC，
∴以點A為原點，直線AB為x軸，直線AC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則z軸在平面EACD內(nèi)（如圖）
設(shè)AB=AC=AE=2a，由已知，得B（2a，0，0），，．
∴，，（8分）
設(shè)平面EBD的法向量為n=（x，y，z），
則且，
∴
∴
解之得
取z=2，得平面EBD的一個法向量為．（10分）
又∵平面ABC的一個法向量為n'=（0，0，1）．．（12分）
說明：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．
點評：從中可以體會以下幾點，一是依據(jù)判定定理整體思考、形成思路；二是通過圖形變換，包括割、補、視圖和射影等，建立試題各要素之間；三是將不規(guī)則圖形向自己熟悉的規(guī)則圖形（特別是長方形）轉(zhuǎn)化，將基本空間圖形原有的性質(zhì)與試題條件有機結(jié)合，將試題要素“直接（直觀）”地聯(lián)系起來或凸顯出來，使問題求解自然而然．