Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(1，0)，拋物線E：x2＝2py的焦點(diǎn)為M.

(1)若過點(diǎn)M的直線l與拋物線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線l的方程；

(2)若直線MF與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解：(1)由題意得拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(1，0)，拋物線E：x2＝2py的焦點(diǎn)為M，所以p＝2，M(0，1)，

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，x＝0，滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝，滿足題意，直線l的方程為y＝1；當(dāng)k≠0時(shí)，Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，所以k＝1，方程為y＝x＋1，綜上可得，直線l的方程為x＝0或y＝1或y＝x＋1.

(2)結(jié)合(1)知拋物線C的方程為y2＝4x，直線MF的方程為y＝－x＋1，

聯(lián)立得y2＋4y－4＝0，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，

所以|y1－y2|＝4，

所以S△OAB＝|OF||y1－y2|＝2.