Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率為

3

2

，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上除長軸、短軸端點外的任一點，過點P作直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)l與y軸的交點為A，過點P作與l垂直的直線m，設(shè)m與y軸的交點為B，求證：△PAB的外接圓經(jīng)過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）將x=-c代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=±

b2

a

．由題意知2

b2

a

=1，e=

c

a

=

3

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀）．聯(lián)立

y=kx+y0-kx0 x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8（ky₀-k²x₀）x+4（y02-2kx₀y₀+k²x02-1）=0，由此能證明△PAB的外接圓經(jīng)過定點．

解答： （1）解：由于c²=a²-b²，
將x=-c代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=±

b2

a

．
由題意知2

b2

a

=1，即a=2b²，
又e=

c

a

=

3

2

，∴a=2，b=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），
則直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀）．
聯(lián)立

y=kx+y0-kx0 x2 4 +y2=1

，
整理得（1+4k²）x²+8（ky₀-k²x₀）x+4（y02-2kx₀y₀+k²x02-1）=0．
由題意△=0，即（4-x02）k²+2x₀y₀k+1-y02=0．
又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，∴16y02k²+8x₀y₀k+x02=0，∴k=-

x0

4y0

．
所以直線l方程為

x0x

4

+y0y=1，令x=0，解得點A(0，

1

y0

)，
又直線m方程為y=

4y0

x0

x-3y0，令x=0，解得點B（0，-3y₀），
△PAB的外接圓方程為以AB為直徑的圓方程，即x2+(y-

1

y0

)(y+3y0)=0．
整理得：x2+y2-3+y(3y0-

1

y0

)=0，分別令

x2+y2-3=0 y=0

，
解得圓過定點(±

3

，0)．
∴△PAB的外接圓經(jīng)過定點（±

3

，0）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形的外接圓過定點的證明，解題時要認真審題，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運用．