Question

設函數(shù)．
（Ⅰ）當m=3時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有三個不相同的零點0，α，β（α＜β），且對任意的x∈[α，β]，都有不等式f（x）≥f（1）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據曲線的解析式求出導函數(shù)，把P的橫坐標代入導函數(shù)中即可求出切線的斜率，根據P的坐標和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（II）本小題利用導數(shù)來研究恒成立問題．先求出f（x）的導數(shù)，根據f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，利用單調性結合函數(shù)的圖象研究函數(shù)f（x）的零點分布問題，最后轉化為一個一元二次方程的根的分布問題．
解答：解：（Ⅰ）當m=3時，，則f'（x）=x²-6x+5．
又∵
∴切點為，切線斜率為-3
故切線方程為．
即切線方程為9x+3y-20=0．
（Ⅱ）f'（x）=x²-2mx+m²-4，故令f'（x）=0，可得x=m-2，或x=m+2．
當x∈（-∞，m-2）時，f'（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（-∞，m-2）上遞增．
當x∈（m-2，m+2）時，f'（x）＜0，故f（x）在區(qū)間（m-2，m+2）上遞減．
當x∈（2+m，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（2+m，+∞）上遞增．
由于函數(shù)f（x）有三個不同的零點0，α，β（α＜β），且，∴
解得m∈（-4，-2）∪（-2，2）∪（2，4）
①當m∈（-4，-2）時，m-2＜m+2＜0，故α＜m-2＜β＜m+2＜0
由f（1）＞f（α）=0，可知此時不存在符合條件的實數(shù)m．
②當m∈（-2，2）時，③m-2＜0＜m+2，故α＜m-2＜0＜m+2＜β．
由于f（x）在區(qū)間[α，β]內的最小值為f（m+2），
∴只要f（m+2）=f（1）．就有x∈[α，β]時，總有f（x）≥f（1）成立．
∴只要m+2=1，∴m=-1．
③當x∈（2，4）時，0＜m-2＜m+2，故0＜m-2＜α＜m+2＜β．用與②相同的方法，
可得m+2=1，即m=-1，但-1∈（2，4），此時不存在符合條件的實數(shù)m
綜上可知，實數(shù)m的值為-1．
點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)單調性的應用、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想、分類討論思想．